Gödelove vety o neúplnosti
Kurt Friedrich Gödel| Myslím teda som Logika a rétorika |
 |
| Kľúčové články |
| Všeobecná logika |
|
| Zlá logika |
|
Gödelove vety o neúplnosti preukázať, že v matematika , je nemožné dokázaťvšetko.
Konkrétnejšie, prvá veta o neúplnosti uvádza, že v každej konzistentnej formulácii teórie čísel, ktorá je „dostatočne bohatá“, existujú tvrdenia, ktoré v tejto formulácii nemožno dokázať alebo vyvrátiť. Druhá veta o neúplnosti uvádza, že teóriu čísel nemožno použiť na preukázanie vlastnej konzistencie.
Veta platí tiež pre všetkyteóriaktorá zahŕňa teóriu čísel, pokiaľ je teória konzistentná a pokiaľ je teória vyjadrená tak, ako je to v matematike obvyklé, podľa pravidiel, ako je axiómy a dôkaz postupy sa určujú od začiatku a výrazy majú konečnú dĺžku. Jedným z hlavných príkladov takejto rozsiahlejšej teórie v matematike je teória množín, pretože v teórii množín možno definovať čísla a operácie s číslami a dokázať bežné princípy aritmetiky.
Obsah
Myšlienka dôkazu
Kurt Gödel (1906–1978) to demonštroval kódovaním klamársky paradox do samotnej teórie čísel a vytvoril tak dobre formovaný matematický výrok, na ktorý sa odkazovalosámako nedokázateľné tvrdenie. Za predpokladu konzistencie vieme, že toto tvrdenie je pravdivé (pretože ak by bolo nepravdivé, dalo by sa dokázať, čo by bolo nekonzistentné). Ale vzhľadom na to, že je to pravda, nemožno to dokázať (lebo to je to, čo hovorí). Konečným článkom reťazca uvažovania je pojem „dostatočne bohatý“, čo znamená, že systém obsahuje dostatok formalizmu na to, aby bolo možné popísať tvrdenie, ktoré o sebe hovorí ako o nepreukázateľnom. Toho sa dosiahne čiastočne preukázaním, že (1) príkazy v aritmetike môžu byť spojené s číslami v aritmetike a (2) dôkaz v aritmetike možno preukázať tak, že zodpovedá aritmetickým výpočtom na týchto priradených číslach.
V prípade, že si myslíte, že to obídete pridaním tohto pravdivého (ale nedokázateľného) tvrdenia ako ďalšej axiómy v aritmetike (koniec koncov viete, že je to pravda), stane sa to, že sa dôkaz zmení tak, že vygeneruje ešte ďalší tvrdenie, ktoré odkazuje na vlastnú nedokázateľnosť z novej, rozšírenej množiny axiómov.
Bežné mylné predstavy
Nie každá matematická teória je nevyhnutne neúplná
„Aritmetika“, na ktorú sa veta odkazuje, nie je len sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie s celými číslami. Zahŕňa tiež výroky o „všetkých číslach“ alebo „niektorých číslach“, napríklad výroky o prvočíslach; „neexistuje najväčšie prvočíslo.“ A existujú časti aritmetiky, o ktorých sa dá dokázať, že sú úplné (existuje jedna takáto časť, ktorá vylučuje násobenie), ako aj ďalšie zaujímavé a komplikované oblasti matematiky, ktoré sa ukázali ako úplné a konzistentné. Mali by ste byť opatrní, keď hovoríte, že „aritmetika“ alebo „matematika“ sú neúplné. Niektoré matematické teórie sú úplné, napríklad euklidovská geometria; jeho úplnosť nie je v rozpore s Gödelovou vetou, pretože geometria neobsahuje teóriu čísel. Existuje dokonca aj dôkaz, že aritmetika (v zmysle viet o neúplnosti) je konzistentná; ale tento dôkaz sa spolieha na metódy, ktoré presahujú túto aritmetiku.
„Pravdivé, ale nedokázateľné“?
Ľudia majú tendenciu byť zmätení z tvrdenia, že Gödelov výrok je „pravdivý, ale nedokázateľný“. Najmä to, čo Gödelova vetaúplne určite určite nehovoríje to takľudívlastniť nejaký druh nadradeného neformalizovateľného intuícia to im umožňuje vidieť matematické pravdy, ktoré nemožno zachytiť „iba matematikou“ alebo „obyčajnou logikou“.
V logike prvého rádu, Gödelúplnosťveta hovorí, že každý logicky platný vzorec - zhruba povedané, pravdivý v každom modeli - je syntakticky dokázateľný. Každý vzorec, ktorý nevyhnutne platí v každom modeli aritmetiky prvého rádu, je dokázateľný z axiómov aritmetiky prvého rádu. A Gödelovo vyhlásenie je v skutočnostineplatí pre každý model aritmetiky prvého rádu: v niektorých modeloch je to pravda a v iných modeloch.
Problém je v tom, že aritmetika prvého rádu nie je dosť silná na to, aby zachytila jednu konkrétnu definíciu prirodzených čísel a obmedzila ju iba naštandardný modelaritmetiky, bežné prirodzené čísla, ktoré všetci poznáme a milujeme (0, 1, 2, ...). Gödelov výrok je pravdivý v štandardnom modeli, ale v neštandardných modeloch existujú okrem štandardných čísel aj ďalšie čísla, ktoré nie sú dosiahnuteľné opakovaným zvyšovaním od 0, reťazcami extra čísel, ktoré sa nekonečne rozširujú v oboch smeroch (podobne , ale odlišné od celých čísel). V neštandardných modeloch existujú Gödelianove kódovania dôkazov, ktoré vo všeobecnosti nedostatočne mapujú platné logické dôkazy - umožňuje tiež nekonečné reťazce, ktoré sa dekódujú do podoby, ako je „Gödelovo tvrdenie je pravdivé, pretože nie-Gödelovo vyhlásenie pravda, pretože Gödelov výrok je-nie-nie-nie je pravdivý, ad infinitum '. Existujú teda neštandardné modely, kde je Gödelovo tvrdenie v skutočnosti nepravdivé: majú „kódovanie dôkazu“, ktoré by skutočná logika prvého rádu ako dôkaz neprijala.
Na rozdiel od logiky prvého rádu nemá logika druhého rádu analóg teórie o úplnosti. Konkrétne, zatiaľ čo aritmetika druhého rádu je dostatočne silná na to, aby opísala iba štandardný model aritmetiky a eliminovala všetky neštandardné čísla, existujú vzorce, ktoré sú pravdivé, ale nemožno ich dokázať z axiómov aritmetiky druhého rádu pomocou logiky druhého rádu . Ale potom ich nemôžu dokázať ani ľudia; nie sú v tomto ohľade mocnejšie akopočítačprogramy alebo akýkoľvek iný formalizovaný proces.
Boh a iné „nepoznateľné“
Niektorí ľudia sú v pokušení použiť Gödelovu vetu akoúnikový poklopza svoje vlastné teórie domácich miláčikov, ktoré považujú za „pravdivé, ale nedokázateľné“. Matematika nedokáže všetko, preto logická diskusia o Bože je márne, tak tam! Gödelova veta má však presnú matematickú formuláciu, rovnako tak aj matematické koncepty logikypravdaa preukázateľnosť; aby sme čo i len zvážili pravdivosť alebo dokázateľnosť tvrdenia, je potrebné najskôr ho formalizovať v jazyku matematickej logiky. „Boh“, ako myšlienka založená na našich nepresných mapáchreálny svetzjavne nejde o presne definovaný logický vzorec, ktorého pravdivosť alebo nepravdivosť má dokonca zmysel považovať za dôsledok čisto matematických teórií. Tento argument patrí do ani zle území.
